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Lorenz era un meteorologo che conosceva anche la matematica e per
aiutarsi nella previsione dei comportamti atmosferici, nel 1960
realizzò un programma per computer che forniva risultati che
rendevano abbastanza bene il comportamento reale dei fenomeni
atmosferici.
Un giorno stava riprendendo una simulazione al computer che aveva iniziato il
giorno precedente e per velocizzare la prova aveva immesso dati che
aveva già ottenuto precedentemente, ma con grande sorpresa
il programma sfornava risultati completamente diversi da quelli
già ottenuti il giorno prima, dopo varie prove scoprì
che il problema nasceva da una piccola differenza nei numeri che
aveva immesso nel calcolatore, Il numero che doveva scrivere era
0,506127 ma per risparmiare spazio aveva scritto 0,506 pensando che
un decimillesimo di differenza, non avrebbe influito molto sull'
evoluzione finale, evidentemente non era così, s'accorse
infatti che anche una piccolissima variazione iniziale, comportava
un grande cambiamento nei risultati finali.
Per capire meglio questo comportamento instabile ridusse le
equazioni a tre,
dx/dt= a(y-x)
dy/dt= bx-y-xz
dz/dt= xy-cz
con la variabile x simulava la pressione(la velocità con
cui sollevano le colonne d'aria),
con la variabile y si simulava temperatura(la differenza di
temperatura tra le masse d'aria ascendente e quella
discendente)
e con la z la velocità dei venti(quando il vento ha delle
brusche accelerazioni, il gradiente termico perde la sua
linearità, questa variabile misura l'allontanamento da
questa linearità).
(Il gradiente termico verticale è il valore con cui cambia
la temperatura dell'aria al variare della quota.)
Fornendo al computer come valori di t=0; :a=10,0
:b=28,0 :c=2,667
t=0 significa che partendo da un Tempo t iniziale = 0 si immettono
i tre valori di a,b,c che corrispondono ad un punto sullo schermo i
valori corrispondenti agli istanti successivi di Tempo =t2, t3, e
successivi, si ottengono usando i differenziali dx,dy,dz che
forniscono al computer i dati delle succesive posizioni di x,y,z
che servono per disegnare il comportamento del sistema.
La linea che traccia la doppia spirale, in realtà è
fatta con migliaia di punti.
Il punto di partenza corrisponde all'istante t=0, i punti
successivi rappresentano le coordinate x,y,z del Tempo
t2, t3, t4, etc.
Lorenz studiando il risultato dei diagrammi così ottenuti,
si convinse che tutte le sue grandi speranze di poter calcolare le
previsioni del tempo a lungo termine erano un'utopia, anche con
l'aiuto di potentissimi computer, erano troppe le variabili
iniziali che non si potevano avere con assoluta precisione e
poichè piccoli errori iniziali causano enormi cambiamenti
nei risultati finali, le previsioni del tempo a lungo termine erano
impossibili.
Dopo quasi 50 anni nonostante il grande sviluppo nella potenza e
nella velocità di calcolo dei computer, sappiamo che Lorenz
aveva visto giusto, dopo i 6 giorni le previsioni del tempo sono
poco attendibili.
Nonostante la sua convinzione sulla impossibilità di
prevedere il tempo a lungo termine, Lorenz non abbandonò la
ricerca sui comportamenti dinamici complessi, che non confluisono
in uno stato stazionario, di questi comportamenti ce ne sono molti
anche in natura, popolazioni animali che aumentano e diminuiscono
quasi regolarmente, epidemie, che hanno uno strano andamento
ciclico, etc.
Evidentemente si rese conto della connessione tra
aperiodicità e imprevedibilità.
Così con le sue 3 equazione che aveva già utilizato
per le previsioni del tempo, si mise a studiare la convenzione nei
gas e nei fluidi.
Nei libri di testo viene mostrato (vedi figura a sinistra) come
visualizzare la convenzione con una cella di fluido, si tratta di
una specie di scatola, con la base che può essere riscaldata
e la parte superiore raffreddata, se la differenza di temperatura
tra il fondo ed il coperchio è piccola, il fluido rimane
fermo.
Se si aumenta il calore della base, il fluido sale verso l'alto,
si raffredda a contatto con il coperchio freddo e ridiscende verso
il fondo, dove si riscalda di nuovo e torna a salire. In questo
modo si forma un moto circolare stazionario, che se osservato
lateralmente sembra una coppia di cilindri.
immagine a destra.
Graficamente questa funzione può essere rappresentata in 2
modi:
 - Nell' immagine a
sinistra,la funzione viene rappresentata nel modo tradizionale,
vale a dire, la convenzione fa muovere il fluido nella scatola in
modo sempre più regolare, fino a raggiungere un andamento
stabile, le piccole onde dell'immagine rappresentano il moto
circolare del fluido, che piano piano si stabilizza.
In quella a destra, la funzione viene mostrata in un modo che in
matematica è detto lo SPAZIO DELLE FASI, si tratta di
un'idea di Henri Poincaré nota da circa un secolo, con lo
spazio delle fasi si riesce a rappresentare un sistema a più
dimensioni. Nel nostro caso oltre a mostrare il moto del fluido e
la temperatura, mostra anche la linearità temporale
nell'andamento del sistema.
L'immagine a destra l'ho ottenuta usando un valore molto basso di c
(vedi la formula di Lorenz), quella del gradiente termico, con poco
vento non c'e turbolenza, proprio come nel scatola, quando
c'è poco calore.
Se si riscalda ulteriormente il fondo della scatola le coppie di
cilindri di fluido cominciano ad ondeggiare, perchè il
coperchio non riesce a raffreddare a sufficenza il liquido e la sua
ridiscesa sul fondo diventa difficile, perchè è
ancora troppo caldo, tanto che invece di scendere sul fondo,
può ritornare verso l'alto, invertendo il senso di
rotazione.
In questo modo il comportamento del sistema diventa instabile.
Il sistema diventa caotico, perchè il fluido continua a
oscillare da una direzione all'altra e con tempi sempre
diversi.
Come vedi qui sopra a sinistra, l'andamento del grafico mostra che
il moto non si stabilizza mai, perchè varia continuamente il
tempo di circolazione del fluido.
Mentre a destra, l'immagine ottenuta usando la tecnica dello
spazio delle fasi e con le equazioni di Lorenz,oltre al variare del
tempo rappresentato dall'ampiezza dei cerchi, mostra anche il
cambiamento della direzione del fluido, quando a causa del troppo
calore non riesce a ridiscendere e torna sui suoi passi invertendo
il senso di marcia, le due serie di cerchi concentrici evidenziano
i due sensi di circolazione del fluido.
L'immagine è particolarmente interessante, perchè
mostra come il tempo impiegato dal fluido per effettuare una giro
cambi continuamente senza sovrapporsi mai, così come
l'inversione della circolazione che sembra non avvenire mai alla
stessa temperatura.
Clicca qui se vuoi interagire con l'applet dell' attrattore di Lorenz in 3D e stereo --- (pag. N. 3)
Immagine stereo
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Può il battito di ali di
una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas ?
