Simulazioni delle ampiezze dei pendoli

Come potete vedere dalle lettere (b)e (c) sotto la prima immagine, rappresentano il numero delle oscillazioni dei due pendoli e sono rispettivamente (5 e 3) mentre le dimensioni delle rispettive ampiezze (d) ed (e) sono (75 e 15) ossia la prima è 5 volte più ampia della seconda Quando l'ampiezza o dimensione delle oscillazioni del secondo pendololo passano da 15 a 25 e poi a 35, cominciano ad evidenziarsi gli otto vertici (5+3 )delle oscillazioni


Quando i moti circolari di due pendoli hanno dimensioni diverse, si possono influenzare a vicenda dando origine ad una serie di curve interessanti, un po' come avviene con le note, quando una nota con frequenza più bassa viene influenzata da una con frequenza più alta. Le immagini qui sotto si potrebbero paragonare a due note che distano una sesta maggiore (5:3)


Nel loro percorso si avvicinino sempre di più al centro del disegno e quando le ampiezze sono entrambe a 75 ossia sono uguali nei 2 pendoli, (immagine num. 7) le curve passano per il centro Se a questo punto comiciamo a diminuire l'ampiezza del primo pendolo portandolo da 75 a 65 e poi a 55 le curve cominciano ad allontanarsi di nuovo dal centro del disegno, ma poichè il primo pendolo oscilla più velocemente del secondo (5:3) ossia nel tempo impiegato dal secondo pendolo per compiere 3 oscillazioni il primo ne compie 5 le curve hanno un andamento diverso da quelle iniziali, perché a questo punto le ampiezze delle oscillazioni dei due pendoli si sono invertite

immagine n.7 qui sotto a sinistra

Come potete vedere, le curve si allontanano dal centro del disegno,

e sembrano tornare al punto di partenza, ma se osservate bene,
non sono uguali


qui sotto imagini 15 e 16


qui sotto immagini 17 e 18


Le immagini 15 - 16- 17 e 18 rapresentano i primi 4 armonici, ossia 2/1, 3/1, 4/1, 4/1, l'aspetto appuntito è stato ottenuto abbinando il numero abbinato alle oscillazione del primo pendolo applicato alle ampiezze dell'altro, ossia se il primo pendolo ha un rapporto di oscillazioni 2 a 1, l'ampiezza del secondo pendolo avrà un'ampiezza di oscillazione doppia rispetto al primo, perciò avremo 2 a 1 come rapporto di velocità e rapporto 1 a 2 come ampiezza . Notate come nel disegno num. 16, dove la lettera b >corrispondente al numero delle oscillazione del primo pendolo (b= 3) sia uguale al valore della lettera d corrispondente all'ampiezza delle oscillazioni del secondo pendolo (d= 3). la stessa cosa per i disegni 17 e 18.



qui sopra 17 e 18


qui sopra le immagini 19 e 20

Le forme poligonali dei disegni Num. 17, 18, 19 e 20, sono state ottenute usando il numero usato per le oscillazioni del primo pendolo, che elevato al quadrato viene poi applicato alle ampiezze delle oscillazioni del secondo pendolo,
Abbiamo ad esempio nella figura 18 il rapporto del numero delle oscillazioni 3 a 1 mentre l'ampiezza è 1 a 9, nella figura 19 il rapporto del numero delle oscillazioni è 4 a 1 e l'ampiezza è 1 a 16, infine la figura 20 ha i rapporti rispettivamente di 5 a 1, e 1 a 25.

Filmato stereo, necessita di occhiali con una lente rossa e l'altra verde.
In questo video potete vedere la simulazione di un armonografo a tre pendoli in azione, Si parte da una forma a spirale ottenuta rilasciando 1 due pendoli simultaneamente, segue una linea obliqua ottenuta rilasciando uno dei due pendoli laterali quando l'altro è già a metà del suo percorso, segue poi la simulazione delle diverse velocità di uno dei due pendoli, ossia mentre uno fa una oscillazione l'altro ne fa due poi tre, quattro etc. Le varie velocità dei due pendoli laterali si deducono dal numero delle asole, se ne vedi tre significa che uno ne fa due e l'altro una, se ne vedi quattro significa che uno ne fa tre e l'altro una, se ne vedi cinque significa che uno ne fa quattro e l'altro una, oppure una ne fa tre e l'altro due.
Dopo aver visto come si ottengono le figure viste sopra vedrete come simulando il rilascio graduale dei due pendoli e agendo sulle loro ampiezze si ottiene l'effetto movimento che in questo caso viene amplificato dalla visione stereo.

Armonografo a tre pendoli

Relazione tra le frequenze delle onde sonore di uno strumento musicale e le oscillazioni combinate dei tre pendoli di un Armonografo.
Due dei tre pendoli dell'armonografo oscillano in modo perpendicolare uno all'altro, ossia uno si muove da nord a sud e l'altro da est a ovest.
Il movimento combinato dei due pendoli può produrre delle circonferenze, anche se il terzo pendolo è bloccato, ma se sblocchiamo anche il terzo pendolo, che è agganciato al tavolo in un modo che gli permetta di oscillare a 360 gradi, avremo la somma di due movimenti rotatori che produrrà delle figure molto più elaborate di quelle ottenute con i soli due pendoli a movimento laterale.
Anche in questo caso, mettendo in relazione gli intervalli delle oscillazioni dei tre pendoli potremo creare delle curve che risulteranno più o meno gradevoli visivamente, esattamente come accade con gli intervalli delle note musicali che risultano più gradevoli all'udito se rispettano certi intervalli in rapporti semplici.
Le figure prodotte dai tre pendoli dell'armonografo sono molto più complesse di quelle a due pendoli, e sono in grado di produrre delle figure che si avvicinano a quelle prodotte da un computer con un programma di grafica,
Questo fatto mostra come le onde sonore e le curve prodotte dalle oscillazioni dei pendoli dell'armonografo obbediscano alle stesse leggi matematiche, ed è per questo motivo che un elaboratore elettronico è in grado di riprodurre queste onde, sia in un modo grafico, come i disegni di queste pagine, sia in un modo sonoro ( attraverso midi e strumenti elettronici) suoni che risultano abbastanza simili a quelle degli strumenti musicali non digitali.

img. 1) Unisono. 1:1 discorde     img. 2) Unisono. 1:1 concorde
Img.1) Avremo una diagonale e un movimento discorde, se i due movimenti rotatori hanno la stessa velocità ma le due rotazioni sono contrarie, ossia una va in senso orario mentre l'altra va in senso antiorario.
Img.2)I tre pendoli hanno la stessa velocità, la somma dei due movimenti rotatori produrrà un semplice punto se i due movimenti sono concordi ossia si muovono nella stesso verso.

img. 3) Ottava. 2:1 discorde     img. 4) Ottava. 2:1 concorde
Img.3) Una delle due rotazioni ha una velocità doppia ed è discorde, ossia hanno rotazioni contrarie.
Img. 4) Una delle due rotazioni ha una velocità doppia ed è concorde, ossia hanno rotazioni nello stesso verso

img. 5) Sesta Maggiore. 5:4 discorde     img. 6) Sesta Maggiore. 5:4 concorde
Img.5) Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono discordi, verso contrario.
Img.6)Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 7) Sesta Maggiore 5:3 discorde     img. 8) Sesta Maggiore. 5:3 concorde
Img.7 Le rotazioni hanno un rapporto 5:3 e sono discordi, verso contrario
Img. 8) Le rotazioni hanno un rapporto 5:3 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 9) Terza Maggiore. 5:4 discorde     img. 10) Sesta Maggiore. 5:4 concorde
Img.9) Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono discordi, verso contrario.
Img.10)Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 11) Terza Minore 6:5 discorde     img. 12) Terza Minore. 6:5 concorde
Img.11 Le rotazioni hanno un rapporto 6:5 e sono discordi, verso contrario
Img. 12) Le rotazioni hanno un rapporto 6:5 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 13) Sesta Minore. 8:5 discorde     img. 14) Sesta Minore. 8:5 concorde
Img.13) Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono discordi, verso contrario.
Img.14)Le rotazioni hanno un rapporto 5:4 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 15) Tono(sec) 9:8 discorde     img. 16) Tono(sec) 9:8 concorde
Img.15)Le rotazioni hanno un rapporto 9:8 e sono discordi, verso contrario
Img. 16) Le rotazioni hanno un rapporto 9:8 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.

img. 17) Ottava. 2:1 discorde     img. 18) Ottava. 2:1 concorde
Img.17) Le rotazioni hanno un rapporto 8:5 e sono discordi, verso contrario.
Img.18)Le rotazioni hanno un rapporto 8:50 e sono concordi, ruotano nello stesso verso.
Il rapporto e uguale a alle img.3 e img. 4 ma varia l'ampiezza delle rotazioni.

img. 19) Terza Minore. 9:8 discorde     img. 20) Terza Minore. 9:8 concorde
Img.19) Le rotazioni hanno un rapporto 2:1 e sono discordi, verso contrario
Img. 20) Le rotazioni hanno un rapporto 3.2 Lo Stesso discorso per le img. 19 e 20 che sono come le img. 5 e 6. Ma le cui ampiezze vengono invertite, significa che le velocità dei due pendoli con movimento laterale prendono il posto di quello del terzo pendolo, quello con movimento oscillatorio e viceversa.

Tutte queste immagini sono state ottenute con un elaboratore, ho scritto un piccolo programma in modo di simulare facilmente i rapporti delle oscillazioni e le loro ampiezze oltre a variare il tempo di rilascio dei pendoli, e naturalmente inoltre posso variare i colori di ogni oscillazione.

Per vedere veri armonografi in azione o saperne costruire uno, in rete ci sono molti siti, basta cercare con google " armonografo" e troverete molte informazioni.

Questi sono due siti che ho trovato utili per costruire un armonografo a tre pendoli:
https://it.yevgenykafelnikov.com/how-make-three-pendulum-rotary-harmonograph Istruzione per costrire un armonografo a tre pendoli.
https://tech.gnius.it/armonografo-macchina-vi-incanterà filmato istruttivo