Serie di formule per ottenere delle terne pitagoriche
Variando alcuni parametri, l' applet permette di ottenere una serie di terne pitagoriche abbinate ai relativi triangoli rettangoli.
Alcune formule prevedono l'inserimento di 2 dati, per altre ne basta solo 1.
Quelle che richiedono 1 solo dato hanno un risultato grafico monotono, vale a dire il
triangolo ha sempre lo stesso aspetto, cambia solo la misura dei lati
mentre formule che richiedono 2 dati, permettono di ottenere un numero maggiore di terne e conseguentemente una varietà maggiore di triangoli rettangoli,
Per le formule che richiedono 1 solo dato si deve agire sulla barra x mentre quelle che richiedono 2 dati sulle barre x e y
ISTRUZIONI
La prima barra di scorrimento (X) è collegata al valore (a) della formula e corrisponde al lato orizzontale del trianglo
La seconda barra di scorrimento (Y) è collegata al valore (b) della formula e corrisponde al lato verticale del trianglo
La terza (fattore scala) regola l'ingrandimento, perchè quando (a) e (b) assumono valori elevati bisogna ridurre il fattore scala, altrimenti
il trianglo esce dal monitor
La quarta barra (d) regola il numero della formula scelta
L'opzione Circonferenza si - no permette di scegliere se visualizzare una circonferenza con il raggio che è pari all'ipotenusa del triangolo
Partendo dalla formula di Pitagora che afferma che la superfice di un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla superfice
dei quadrati costruiti sui suoi due lati, ricerchiano formule che permettano di ottenere quei triangoli che abbiano i tre lati con NUMERI INTERI.
Ad esempio un triangolo con i 2 lati di 3 e 4 cm. avrà l'ipotenusa di 5cm. dato che la somma dei quadrati di 3 e 4 è (9 + 16 = 25) l'ipotenusa sarà
la radice di 25 cioè 5 Numero INTERO
Ma se il triangolo è formato da lati che misurano 2, 3, e 4cm non si potrà avere una terna di numeri interi, perchè 3 al quadrato più 2 al quadrato fa 13 e
la radice quadrata di 13 non è un numero intero.
Le terne si dividono in PRIMITIVE e non primitive,
Se i tre numeri interi non hanno un fattore in comune, cioè sono primi fra loro, allora la terna pitagorica e detta primitiva.
un esempio è 5, 12, 13 mentre 10, 24,26 non lo è perchè questi ultimi sono divisibili per 2.
Naturalmente, come si vede dall'esempio precedente si possono formare infinite terne pitagoriche basta moltiplicare i tre numeri di una primitiva
per uno stesso fattore, ma a questo punto però non saranno più terne primitive.
A Pitagora, è stata attribuita una regola per individuare infiniti triangoli rettangoli aventi le
misure dei lati espresse da numeri interi e primi tra loro.
Questa regola nell'applet qui sopra corrispone alla formula numero 2
a = x; b = (x*x - 1)/2; c = (x*x + 1)/2
avremo dei triangoli rettangoli con i lati a, b, c primi tra loro
dove x è un qualsiasi numero naturale dispari positivo o negativo. il passaggio di x da positivo a negativo farà ruotare di 180° attorno all'asse (y)
il triangolo rettangolo
notiamo che:
- Le misure dei cateti (a) sono dispari e quelli (b) pari.
- Il valore del cateto pari è sempre un multiplo di 4.
- La differenza tra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del cateto pari
è sempre uguale a 1.
Dato che il lato (a) del triangolo rettangolo corrisponde ad (x) e deve essere dispari, è evidente che con questa regola non potremo avere una terna
primitiva come questa 8, 15, 17, perchè (x)dispari al quadrato rimane dispari.
Ecco perchè esiste una variante della formula che permette di avere terne con (a) pari, vedi la formula N. 3
Esiste una formula utilizzata da Diofanto (III sec. d. C.)nella sua opera Arithmetica in grado
di fornire tutte le terne pitagoriche primitive, ma probabilmente Diofanto l'ha ereditata da Euclide.
Nell'applet corrisponde alla formula numero 1
( a = x^2 - y^2); ( b = 2xy ); ( c = x^2 + y^2 ).
dove x e y sono numeri naturali che devono soddisfare tre condizioni per fornire terne primitive:
- x e y siano primi fra loro
- x e y siano di parità diversa (se x è pari allora y deve essere dispari e viceversa)
- x deve essere maggiore di y
Quest'ultima é una condizione che non condivido perchè se x è minore di y il triangolo ruota semplicemente
attorno all'asse verticale di 180° e (a) diventa negativo
Inoltre anche se x è un numero negativo e y è positivo la formula rimane valida poichè
fornisce ancora una terna pitagorica valida, in questo caso
il triangolo ruota sia sull'asse verticale che quello orizzontale, la stessa cosa avviene se x è positivo e y è negativo.
Elenco delle formule contenute nell'applet qui sopra.
Le più note sono le prime tre (Pitagora, Diofanto Euclide) le altre sono meno note, ma sono di stimolo a chi vuole
cercare di realizzarne una personale magari creando una piccola variante ad una
di quelle già note
Nell'applet ne ho elencate 10
La Num.1 è di Diofanto (a= [x^2]-[y^2]) ; (b= [2*x*y]) ; (c= [x^2]+[y^2])";
Richiede l'inserimento di due numeri, uno per il lato orizontale=(x) ed uno per quello verticale=(y),
ma permette di realizzare tutti i tipi di terne e dunque
i triangoli associati possono ruotare attorno ai due assi
La Num. 2 è quella di Pitagora con x dispari.
(a) = x ;(b) = (x^2 -1)/2 ;(c) = (x^2 +1)/2
é una formula che richiede un solo dato che viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
La Num. 3 è quella di Pitagora modificata
con x pari.
(a) = x ;(b) = (x^2 -4)/4 ;(c) = (x^2 +4)/4
richiede sempre un solo dato che viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
La Formula N.4
Deriva da una variante del teorema di Pitagora in salsa cinese, il più antico testo cinese di astronomia e matematica ancora esistente
il Chou Pei contiene una dimostrazione diagrammatica del teorema di Pitagora che si può utilizzare anche per realizzare una formula che genera molte
terne Pitagoriche, in chiave moderna la formula è:
(a) = Ll ; (b) = Lc ; (c) = (Ll+Lc)^2 -2*(Ll*Lc)
Lato corto =Lc, Lato lungo = Ll, sono i lati di un triangolo rettangolo
é una formula che richiede due Numeri (Ll e Lc) associati ai valore del lato orizzontale e verticale del triangolo rettangolo
Questa formula non sempre genera terne a numeri interi, ma permette di vedere cosa succede se si immettono
i dati ottenuti con le altre formule quando vengono divisi o raddoppiati
La formula l'ho letta in questo testo (G.Gheverghese Joseph - C'era una volta un mumero - Il Saggiatore)
Formula N.5 (a) = x^2 * 4 -1 ; (b) = x * 4 ; (c) = x^2 * 4 +1
é un' altra formula che richiede un solo dato e viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
Formula N.6 (a)= [x*2] ; (b)= [x*x-1] ; (c)= [x*x+1]
anche questa richiede un solo dato e viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
Formula N.7 (a)= [x*y*2] ; (b)= [x*x-n1*n1] ; (c)= [x*x+n1*n1]
questa formula richiede due dati, la (x) delle ascisse = lato orizzontale e la (y) delle ordinate = lato verticale del triangolo
Formula N.8 (a)= [x*2+1] ; (b)= [2*x*x+x*2] ; (c)= [(b)+1]
anche questa richiede un solo dato e viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
formula N.9 (a)= radice di[c^2-b^2] ;(b)= [x^2-1*(rnd*3+2)] ;(c)= [x^2+1*(rnd*3+2)]
anche questa richiede un solo dato e viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
La Formula N. 10 (a) = x * 2+1 ; (b) = x * 2 * (x+1) ; (c) = x * 2*(x+1)+1
é una formula che richiede un solo dato e viene associato al valore del lato orizzontale del triangolo
formula N.11 (a)= [x*y*2] ; (b)= [x+y*abs(n2-n1)] ; (c)= [abs(x-y)*abs(x-y)+(x*y*2)]
questa formula richiede due dati, la (x) delle ascisse = lato orizzontale e la (y) delle ordinate = lato verticale del triangolo
Questa per quanto ne sò è una mia formula. salvo scoprire che qualcuno mi ha preceduto
DIXON, LEONARD E. HISTORY OF THE THEORY OF NUMBERS questo testo è interessante, è in inglese ma dato che la matematica usa un linguaggio universale è
abbastanza comprensibile anche a chi l'inglese lo mastica poco, ed è disponibile in rete, gratis
(Numeri Memorabili di D. Wells ed.Zanichelli)
ALCUNE CURIOSITA' SUI TRIANGOLI PITAGORICI
I triangoli quasi isosceli, sono quelli che hanno la misura dell'ipotenusa e quella di un lato che differiscono di una unità
La formula N.2, quella di Pitagora per i numeri dispari ha come soluzione questi tipi di triangoli, perchè la formula ((x^2-1)/2) e ((x^2-1)/2)
utilizza il quadrato di due numeri consecutivi e la differenza dei quadrati di 2 numeri consecutivi è sempre uguale alla somma dei due numeri usati come radice,
ad esempio la differenza tra 6^2 e 7^2 è uguale a (6+7=13) perchè (49-36= 13) ora quando questa differenza è uguale ad un quadrato perfetto si ha una terna pitagorica,
prendiamo per esempio i numeri consecutivi 12 e 13 i cui quadrati sono 144 e 169 e la differenza è (12+13 = 25) e dato che la radice di 25 è uguale a
5 avremo la terna 5-12-13,
Quando ne scopri uno, con la formula N. 1 puoi trovare il sucessivo con questa semplice regola, se per esempio hai il triangolo con i lati 21-20- 29, che
è stato generato da x= 5 e y= 2 per generare il successivo basta raddoppiare la x e aggiungere y perciò x*2 +y= 12 mentre il valore
y e uguale al valore precedente di x cioè 5 ed ecco che con x=12 e y=5 avrai la terna 119,120, 169
Il triangolo 3,4,5, è l'unico triangolo i cui lati sono in progressione aritmetica.
Ed è anche l'unico con i lati interi, in cui la somma dei lati=(12) è uguale al doppio della sua area= (6):
Ci sono 2 triangoli pitagorici con area uguale al perimetro uno è 5-12-13 con area e perimetro = 30 e l'altro è 6-8-10 con area e perimetro = 24.
Il triangolo pitagorico con i lati = 693-1924-2405. Ha un area fatta con la stessa cifra (6) ripetuta 6 volte = 666.666
In media un sesto di tutti i triangoli Pitagorici ha l'area che termina con la cifra 6, un sesto con la cifra 4, e gli altri due terzi con la cifra zero.
(W.P. Whitlock Jnr)
Se 2 lati qualsiasi di un triangolo rettangolo vengono presi come generatori di 1 nuovo triangolo, allora il triangolo risultante avrà come uno dei
suoi lati l'ipotenusa al quadrato del triangolo originale, ad esempio se dal triangolo con i lati 3,4,5 prendiamo i lati 3 + 4 = 7 com generatore
di un nuovo triangolo, avremo la terna 7, 24, 25 e 25 è il quadrato di 5.(W.P. Whitlock Jnr)
Ecco un altro modo per generare terne pitagoriche. Si prenda una coppia di numeri consecutivi pari o dispari, si sommino i loro reciproci.
per esempio due dispari consecutivi come 3 e 5 (1/3 + 1/5 = 8/15) 8 e 15 sono i lati di un triangolo rettangolo con l'ipotenusa =
radice quadrata di(8^2+ 15^2).
Fonte, D.Wells - Numeri Memorabili ed. Zanichelli.
Un 'altra famosa formula è questa
a= x*2, b= x*x-1, c= x*x+1 esempio x = 4 , a=8, b = 15, c = 17
Questa sotto è una formula molto interessante
a = 4x(x + y - 1) - (2y - 1)
b = 2y(2x + y - 1)
c = 2y(2x + y - 1) + (2x - 1)² L'ho trovata in questo sito che si potrebbe definire il paradiso delle formule per terne pitagoriche, ce ne sono a decine. http://digilander.libero.it/salgam/
Il triangolo pitagorico con i lati 3,4,5 è l'unico i cui lati sono in progressione aritmetica e con l'area che è la metà del perimetro, inoltre è quello
con l'ipotenusa più corta tra quelli a numeri interi
E ovviamente ogni ipotenusa di un triangolo pitagorico è la somma di due quadrati ad esempio ( 5 = 2 ² + 1 ² )
Tale C.Raine ha messo in relazione le terne pitagoriche anche con i famosi numeri di Fibonacci (Quelli della prolificità dei conigli)
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 - 233 - 377 - 610...
Prendendo una serie di 4 numeri consecutivi, ad esempio (3,5,8,13) moltiplichiamo i 2 estremi(3x13= 39) e raddoppiamo il prodotto dei due interni(5x8x2 = 80)
avremo così 39 e 80 che sono i due lati di un triangolo rettangolo con l'ipotenusa = 89, ed 89 è il numero di Fibonacci che si trova 4 numeri dopo il 13 che è
l'ultimo termine usato nella quartina d'esempio, questo perchè il valore dell'ipotenusa si trova sempre spostato dopo l'ultimo numero della quartina, di un numero di posti
pari alla distanza del primo numero della quartina dal primo numero di Fibonacci.
Un esempio vale 1000 parole,
Poichè il primo numero della quartina d'esempio era = 3 che corrisponde al quarto numero di Fibonacci, il valore dell'ipotenusa
si troverà al quarto posto dopo il 13 (che era l'ultimo numero della nostra quartina) ossia sarà il numero 89
Se la quartina fosse stata (8,13,21,34) avremmo 8 che corrisponde al sesto numero di Fibonacci in questo caso avremmo avuto la terna
(8*34= 272=a),(13*21*2= 546=b), (610=c), perchè 610 è il sesto numero di Fibonacci dopo il numero 34= (l'ultimo numero della quartina). Una cosa notevole.
Fonte (Numeri Memorabili di D. Wells ed.Zanichelli)
Perfino in una sequenza per appossimare la radice quadrata di 2 si può trovare un sistema per creare una terna pitagorica
la sequenza è :
1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408... Queste frazioni sono ottenute nel modo seguente.
Se chiamiamo (A) il numeratore e (B) il denominatore, abbiamo le frazioni (A+2B)/(A+B). Le terne si ottengono prendendo quelle che hanno numeratore
e denominatore dispari, ad esempio 41/29
dividiamo il numeratore in due parti uguali (41/2 =20,5) una la arrotondiamo per difetto =(20) e una per eccesso =(21) avremo la terna 20,21,29
Istruzioni:
La barra di scorrimento (x) regola l'angolo del raggio della circonferenza
La barra (zoom) regola la misura raggio della circonferenza, che corrisponde anche all'ipotenusa del triangolo. (Circonf) Si No Determina la visibilità della circonferenza,
Anche se non si ottengono terne pitagoriche a numeri interi le funzioni trigonometriche Seno e Coseno
Permettono di ottenere una serie di triangoli rettangoli, queste funzioni utilizzano l'angolo formato
dalla rotazione del
raggio all'interno di una circonferenza per fornire dei valori che vengono associati ai due lati, mentre il raggio della circonferenza corrisponde all'ipotenusa che
completa il triangolo.
