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Ipersfera

L' applet mostra alcune mie ipotetiche forme che un'ipersfera potrebbe assumere nel nostro mondo tridimensionale.
A differenza dell'ipercubo il cui aspetto è largamente condiviso in tutte le sue varie proiezione e modelli, l'ipersfera trova varie ed alcune volte contrastanti versioni, per la sua rappresentazione grafica; per avere un'idea di quello che intendo dire, basta dare uno sguardo in rete, alla voce ipersfera, o meglio hypersphere nei motori di ricerca, potrai vedere sia immagini sia animazioni dell'ipersfera molto diverse tra loro, mentre se digiti hypercube vedrai immagini e filmati che rappresentano chiaramente lo stesso oggetto.

Probabilmente questo applet mostra una mia pia illusione di ipersfera, ma le immagini che realizza hanno una certa intrigante eleganza che mi ha colpito ed è per questo che l'ho messo in rete.

La leva [a] regola il numero delle 10 varianti dell'ipersfera, ed ogni variante permette di realizzare numerose immagini.
la leva [b] sincronizza il numero delle circonferenze con la divisione di ogni cerchio.
la leva [c] regola il numero delle circonferenze.

Muovendo il mouse in senso verticale si entra nella sfera e variando i valori di (b) e (c) si creano numerose immagini interessanti, specialmente se (b) divide (c) per 5 o per 10.

Muovendolo in senso orrizontale, si fanno ruotare le circonferenze attorno alla sfera.... virtuale

La visione stereo 3D permette una comprensione migliore delle immagini.
Per una visione stereo servono quegli occhialini che hanno una lente rossa e una verde.

Vedere una sfera con una dimesione superiore a 3, vale a dire un'ipersfera, è praticamente impossibile per noi che viviamo in un mondo tridimensionale, possiamo solo tentare d'immaginare come ci apparirebbe se qualcuno ce la mostrasse.

Una simile situazione è descritta in modo efficace nel libro di Edwin Abbot, teologo 1838-1928 - ("Flatlandia " ed. Bollati Boringhieri 2008.
-Solo che in questo libro i personaggi vivono in un mondo bidimensionle, sono completamente piatti, non hanno spessore, possono vedere solo cerchi, quadrati triangoli, niente cubi, sfere o qualunque cosa che abbia uno spessore, perciò quando ad un certo punto del racconto viene mostrata loro una sfera, loro ne possono vedere solo una serie do ciconferenze, all'inizio, quando la sfera entra nel loro mondo vedono un punto, poi un piccolo cerchio con un diametro che pian piano si allarga fino a raggiungere un massimo, per poi ricominciare a restringersi fino a ridiventare un punto, ed infine sparire quando la sfera ha attraversato completamente il loro mondo piatto; ma lo stesso effetto si avrebbe se al posto di far attraversare una sfera si usasse un doppio cono con le basi unite, per gli abitanti di Flatlandia sarebbe impossibile accorgersi della differenza .

Noi nel nostro mondo tridimensionale abbiamo lo stesso problema con l'ipersfera, se arrivasse da noi dovremmo vedere un punto che pian piano, ( che al posto del cerchio come nel mondo bidimensionale) diventa una sfera la cui superfice è ricoperta da circonferenze o da proiezioni di circonferenze e allo stesso tempo potremmo vederne la superfice interna che a sua volta contiene altre sfere.

Passando col mouse sulle immagini a destra appare una sigla con due numeri, il primo corrispone alla barra di scorrimento (a) il secondo numero alla barra(b)


Io non saprei dirti cosa vedremmo se fossimo in un mondo con una dimensione superiore, però se in un mondo a 2 dimensioni, quello piatto, vediamo solo avanti e indietro, destra e sinistra, in quello a 3 dimensioni come il nostro vediamo anche un sopra e un sotto, all'ora forse in un mondo a 4 dimensioni, potremmo vedere anche un interno ed un esterno contemporaneamente, vale a dire che in una dimesione superiore alla nostra potremmo vedere l'interno e l'esterno di una sfera chiusa, nello stesso istante, proprio come noi possiamo vedere l'interno e l'esterno di un cerchio o di un quadrato, oppure l'interno e l'esterno di una stanza senza soffitto, semplicemente guardandola dall'alto, cosa che non può fare un abitante di Flatlandia che vive in un mondo 2D, inoltre noi possiamo guardare nella sua casa piatta anche se ha tutte le porte chiuse, cosa per lui impossibile,così come un l'abitante di un mondo a 4 dimensioni potrebbe guardarci in faccia vedere anche le nostre spalle e la nostra nuca, cosa che nel nostro mondo 3D non possiamo fare.


Il bello della matematica abbinata alla grafica del computer è che ci permette di creare ed esplorare mondi con dimensioni superiori, anche se non potremo mai verificare la loro effettiva realtà.
Regolando il valore della barra di scorrimento [a], potrai scegliere tra 10 alternative di base, ognuna delle quali permette di realizzare una vasta serie di immagini interessanti.


La superfice della sfera è fatta da una serie di cerchi che cambiano diametro con il variare del volune della sfera o con la sola rotazione, questo perchè come nell'ipercubo si vedono proiezioni di quadrati, così nell'ipersfera si vedono proiezioni di cerchi.

Le immagini monocromo evidentemente non sono stereo.

Naturalmente qualcuno sarà scettico sulla mia visione dell'ipersfera, d'altronde di dubbi ne ho anch'io.

Per sentire altre opinioni più autorevoli ti basta navigare in rete digitando la parola Ipersfera sui motori di ricerca.


Questa immagine che fa parte di un filmato è una di quelle che più mi ha intrigato http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=8519
Questo è il sito che la ospita