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Lo Spirografo 3D
Rendere tridimensionali delle curve bidimensionali come le TROCOIDI

Vediamo velocemente cos'Ŕ uno SPIROGRAFO e a cosa serve.

SPIROfoto2.jpg (5816 bytes)

Come vedi dalla foto lo Spirografo Ŕ uno strumento composto da una ruota dentata all'interno della quale c'Ŕ una ruota di raggio minore contenente dei fori, inserendo una matita in uno di questi fori e facendo rotolare la ruota piccola contro il bordo interno della ruota grande, si ottengono delle belle curve chiamate

IPOTROCOIDI,
che insieme alle EPITROCOIDI e alla CICLOIDE,

formano la famiglia delle curve dette

TROCOIDI.





Per un resoconto completo sull' inventore e il distributore dello spirografo andate su Wikipedia, ( http://it.wikipedia.org/wiki/Spirograph )



IPO3 iporif IPO1 EPI3 EPI1

cardioide nefroide trfoide deltoide quartoide stella











Le immagini che vedi qui sopra sono state realizzate con due diversi simulatori di SPIROGRAFO, uno ha la ruota mobile all'esterno di quella fissa, mentre l'altro l'ha all'interno, quando la ruota gira all'esterno si ottengono le curve dette Epitrocoidi mentre se ruota all'interno, abbiamo le Ipotrocoidi

Il punto rosso rappresenta la matita che traccia la curva quando la ruota gira, se il punto Ŕ posto in corrispondenza con il bordo della ruota che gira, l'Epitrocoide prende il nome di Epicicloide, mentre l'Ipotrocoide si chiamerÓ Ipocicloide.

Potete trovare questi due simulatori, con relativi listati in Java a questo indirizzo

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/hipotrocoide.htm
Questo sito dispone di uno spirografo virtuale con il quale potrete realizzare splendide immagini di Trocoidi,

Vediamo ora l' applet che oltre a tracciare all'istante delle Epitrocoidi...

le trasforma in Ipotrocoidi e viceversa con il solo movimento del MOUSE, Basta muovere il mouse per vedere una curva ruotare su se stessa, questo movimento oltre a creare un illusione di tridimensionalitÓ trasforma una Epi in una Ipo...trocoide.
Per una visione ideale di questo applet servirebbero quegli occhialini che hanno una lente rossa e una verde, perchŔ permettono una visione stereo delle immagini.

Se non avete gli occhialini cliccate su [ Stereo no]

Agendo sulle barre (a) e (b) regolate il diamentro del cerchio fisso e della ruota mobile
La barra (c) regola la lunghezza dell'asta che traccia il disegno.
Ogni sottomultiplo del diametro della ruota (b) determina un numero corrispondente di cuspidi solo nelle Epitrocoidi, nelle Ipotrocoidi le cuspidi sono due in pi¨.

Muovendo il mouse potrete vedere che la ruota con i raggi si sposta all'interno o all'esterno del cerchio fisso.
Quando la ruota si trova all'interno del cerchio le curve tracciate sono delle IPOTROCOIDI, mentre quando Ŕ all'esterno del cerchio le curve sono EPITROCOIDI

La punta dell'asta che parte dal centro della rotellina e termina con un pallino verde, rappresenta il punto che muovendosi solidale con la rotellina che gira all'interno o all'esterno del cerchio bianco, traccia le trocoidi.

CLICCA SUL DISEGNO E TRASCINA IL MOUSE

Ho usato la formula dell'epitrocoide per questo applet, perci˛ alcune curve appartenenti alle ipotrocidi non si possono vedere.

Clicca qui se vuoi scaricare il file dell'applet di questa pagina in formato txt.


Per chi non riesce a vedere l'applet ho inserito quest' animazione che mostra come una Epitrocoide si trasformi attraverso una rotazione in una Ipotrocoide.
L'animazione Ŕ fatta con 14 immagini che mostrano le curve che la ruota piccola traccerebbe durante una rotazione di 360░ sul proprio asse verticale .

Guardando con attenzione le immagini, si pu˛ vedere come una Epitrocoide (esempio a sinistra) venga trasformata in una Ipotrocoide (esempio a destra).

num1 trocoidi num14



FORMULA dell'IPOTROCOIDE ( quella con la ruota mobile all'interno di quella fissa)
x = Rr*Math.cos(a)+ d* Math.cos((Rr /rp)*a);
y = Rr*Math.sin(a) + d * Math.sin((Rr / rp)*a);
Rr = (rg-rp); IN QUESTO CASO

FORMULA DELL'EPITROCOIDE ( quella con ruota mobile esterna alla fissa)
x = Rr*Math.cos(a)+ d* Math.cos((Rr /rp)*a);
y = Rr*Math.sin(a) - d * Math.sin((Rr / rp)*a);

Rr = (rg+rp); IN QUESTO CASO rg = ruota grande;
rp = ruota piccola;
a= angolo;
d = distanza dal centro della ruota piccola.



java Clicca qui per un applet che simula uno spirografo che disegna Epitrocoidi .

java Clicca qui per vedere come sono le Cicloidi sferiche .

java Clicca qui per un all'applet che simula uno spirografo che disegna Trocoidi sferiche .

java Mentre devi cliccare qui per un all'applet che simula uno spirografo che disegna Ipotrocoidi .

Le roulettes, una famiglia di belle curve.

java Cliccare qui per un all'applet che traccia una Cilcloide .


anim_sfer

Un cono che rotola in una sfera traccia una cicloide sferica.

Ultimo aggiornamento 07/2011



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