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La Cardioide 3D
Ovvero una curva bidimensionale nascosta in un oggetto tridimensionale

Cominciamo con la cardioide la limašon e la nefroide che sono epicicloidi, sono cioŔ tutte quelle curve appartenenti alla categoria della roulette, ossia sono generate facendo rotolare una circonferenza intorno ad un'altra circonferenza tenuta fissa e di uguale raggio.

La cardioide il cui nome deriva dal greco kardioeides ( a forma di cuore), perchŔ questa curva assume una forma simile al contorno di un cuore,

cardio6.jpg (5816 bytes) Apri una finestra con una sequenza d' immagini che illustrano il percorso della circonferenza


Clicca qui . Se vuoi interagire con un' applet con la quale potrai realizzare molte altre immagini simili alla cardioide

La Limašon

La Limašon si disingue dalla cardioide, perchŔ il raggio della circonferenza in rotazione penetra nella circonferenza fissa, questo fatto causa la formazione di un anello durante rotazione, l'ampiezza dell'anello viene determinata dalla lunghezza della linea che parte dal centro della circonferenza in rotazione.
Se la lunghezza della linea supera la lunghezza del raggio, penetrando nella circonferenza fissa, la curva generata sarÓ una Limašon.

La Limašon Ŕ un'altra curva simile alla cardioide, chiamata anche limašon di Pascal, o chiocciola di Pascal), la curva presenta un anello che la fa sembrare al guscio di una lumaca, da cui deriva il nome (dal francese limašon o anche dal latino limax, = chiocciola).

lunaca75.jpg (7643 bytes)

Al suo interno forma un anello che pu˛ assumere varie dimensioni

Nella figura a sinistra, l'anello entra per un quarto nel bordo della circonferenza rossa, mentre in quella a destra l'anello arriva al centro

lumaca1.jpg (8929 bytes)

La Nefroide

cuspide2.jpg (7470 bytes)

Questa a sinistra Ŕ una Nefroide
E' detta nefroide (perchŔ assomiglia alla forma di rene) si tratta di una epicicloide a due cuspidi.


cuspide3.jpg (6226 bytes)

Questa Ŕ un'altra epicicloide a 3 cuspidi.
Teoricamente si possono realizzare epicicloidi con un numero infinito di cuspidi.
Basta far aumentare il numero di rotazioni alla circonferenza in moto

Apri una finestra con una sequenza d' immagini che illustrano altre epiciclioidi


Disegni geometrici con l'algoritmo della Cardioide.

La cosa graficamente interessante Ŕ che in questo modo si ottengono disegni geometrici molto belli, Ú sufficente aumentare le cuspidi e collegare i punti disegnati per ottenere le immagini qui sotto.

Oppure disegnare il raggio della circonferenza mentre compie la rivoluzione intorno al disco fisso.

bicard1.jpg (16097 bytes) bicard13.jpg (14469 bytes) bicard16.jpg (13100 bytes)bicard19.jpg (6099 bytes)bicard8.jpg (16165 bytes) Apri una finestra con una sequenza d' immagini che illustrano altre immagini grafiche simili


Clicca qui . Se vuoi interagire con un'altra applet con la quale potrai realizzare molte altre immagini Grafiche che nascono dalla Cardioide e la Limašon

Passiamo alla Cardioide a a 3D

Ho cominciato sovrapponendo due circonferenze,







cardio3d1.jpg (6756 bytes)

poi le ho ruotate di 90░ una rispetto all'altra formando una specie di X,
immaginando i punti che formano le due circonferenze come i minuti di 2 orologi e collegandoli con delle linee, ho ottenuto un piccolo quadrato nel centro dell'immagine



cardio3d2.jpg (11906 bytes)

a questo punto ho ruotato di 90░ anche il quadrante di uno dei 2 orologi in questo modo il punto che prima era sulle 12, ora si trova sulle 3, quello che era sulle 3 finisce sulle 6 etc.

cardio3d3.jpg (10343 bytes)

In questo modo ruotando le due circonferenze e facendole sovrapporre si vede forma una cardioide che sembra vista in filigrana.



cardio3d4.jpg (18983 bytes)

Nelle tre circonferenze con all'interno le rette, che vedi qui sotto, puoi veder che quando le circonferenze vengono ruotate e cominciano a sovrapporsi, all'interno si comincia ad intravedere un cardioide che Ŕ formata dagli



cardio3d5.jpg (17792 bytes)

spazi lasciati liberi dalle rette, nota come nell' ultima immagine, dove le due circonferenze sono completamente sovrapposte si veda una cardioide che sembra vista in filigrana.



cardio3d6.jpg (18354 bytes)

Per apprezzare meglio e per rendere pi¨ comprensibile quanto avete letto, ho realizzato un applet particolare con la quale oltre ad interagire, ti offre l'ulteriore possibilitÓ di avere una visione stereografica delle immagini, naturalmente per la visione stereo devi usare quei piccoli occhialini con una lente rossa ed una verde che regalano nelle sale che danno film 3D.


Clicca qui per un applet sulla cardioide in 3D e stereo.
Clicca qui per un applet che mostra una cardioide che ruota all'interno di un'altra cardiode.


Questa Ŕ un'altra immagine ottenuta con la formula usate per la cardioide

cuore.jpg (14555 bytes)

Le pagine con le applet contengono anche il testo degli algoritmi usati per realizzarle.

Per chi desidera conoscere solo le formule matematiche, consiglio di inserire la parola Cardioide in Google o altro motore di ricerca.