pendolo

QUADRATI MAGICI

SONO TABELLE DI NUMERI, CHE SOMMATI SULLE RIGHE, SULLE COLONNE, E SULLE DIAGONALI DANNO SEMPRE LA STESSO RISULTATO.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Noti già 4200 anni fa in Cina hanno incantato la gente per le loro incredibili proprietà, ritenute magiche.
In occidente arrivano solo nel 130 d.c.
Nell'800 d.c. entrano nell'astrologia, vengono usati dagli arabi per calcolare gli oroscopi.
Nel 1300 d.c. i quadrati magici si diffondono in Europa.

Proprietà dei quadrati Magici:

1) L'ordine del quadrato magico, è dato dal numero di righe e colonne, ad esempio, un quadrato di 3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di ordine 3, un quadrato di 4 righe e 4 colonne è un quadrato magico di ordine 4.

2) I numeri, sono quelli naturali, 1, 2, 3, 4, .....,

3) La somma che deve essere uguale, sia per le righe, le colonne e le diagonali, viene trovata usando una delle seguenti formule:
1/2(n(n²+1)) Dove n è l'ordine del quadrato.
Esempio di un quadrato di 3 rihe e 3 colonne, perciò quadrato magico di ordine 3
0.5*(3*(3*3+1))= 15.

Un altra formula è (n³ +n)/2, ossia ((3*3*3)+3)/2= 15
Se non vi piacciono le formule, sommate tutti i numeri del quadrato, (1+2+3+4+...fino al 15) = 45, dividete poi per l'ordine del quadrato magico, in questo caso 3, cioè avrete ancora 15. In breve sommate tutti i numeri di un quadrato magico e divideteli per il suo ordine.

ORDINE 1

Il quadrato magico DI ORDINE 1 non ha senso

ORDINE 2

1	2
3	4

Il quadrato magico di ORDINE 2 è impossibile da realizzare.

ORDINE 3

1	2	3	[[[[[[[[[[[[[[[[]	8	3	4
4	5	6	[[[[[[[[[[[[[[[[]	1	5	9
7	8	9	[[[[[[[[[[[[[[[[]	6	7	2

Il quadrato magico di ORDINE 3 è il primo e il più semplice dei quadrati magici da realizzare.
Qello che vedi qui sopra a destra è una delle possibili varianti.
Per ottenerlo segui i seguenti suggerimenti.
Nel quadrato a sinistra i numeri sono disposti in ordine crescente, partendo in alto a sinistra i numeri dall'1 al 9, in questo modo il quadrato non è magico, perchè la somma delle righe e delle colonne non sono uguali tranne le centrali.
Per farlo diventare magico, ti basta spostare di una casella in senso antiorario, i numeri sulle diagonali e cioè (1, 7, 9, 3) , e di tre caselle in senso orario gli altri quattro rimasti sui lati e cioè (2, 6, 8, 4).
Il cinque rimane sempre al centro.
Il gioco è fatto.
Prova a sommare i numeri sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali, avrai sempre 15 come risultato.

Se i numeri all'estremità di una colonna, riga , o diagonale, corrispondono al numero più alto e a quello più basso, risultano complemetari.

Guarda 8+2, 7+3, 6+4, 9+1, la somma è sempre 10. Mentre 4+2, 6+2 8+6 non sono i numeri più alti e più bassi delle rispettive righe, colonne e diagonali.

ORDINE 3 SECONDA VARIANTE

7	8	9	[[[[[[[[[[[[[[[[]	4	3	8
4	5	6	[[[[[[[[[[[[[[[[]	9	5	1
1	2	3	[[[[[[[[[[[[[[[[]	2	7	6

In questa variante la numerazione comicia in basso sinistra, i numeri sugli angoli si spostano di tre caselle in senso antiorario, mentre quelli sui lati(2, 4, 8, 6) si spostano di una casella in senso orario.

Se si moltipica ogni numero del quarato magico per una determinata cifra, si avrà un altro Quadrato Magico

Usando il quadrato qui sopra come esempio, moltiplica ogni numero per due, metti cioè 2, 4, 6, 8, etc. al posto di 1, 2, 3, 4, avrai un quadrato magico, la cui somma delle colonne, righe e diagonali sarà 30 invece di 15, perchè ogni numero è stato raddoppiato.

ORDINE 4

1	2	3	4	[[[[[[[[[[[[[[[[]	16	2	3	13
5	6	7	8	[[[[[[[[[[[[[[[[]	5	11	10	8
9	10	11	12	[[[[[[[[[[[[[[[[]	9	7	6	12
13	14	15	16	[[[[[[[[[[[[[[[[]	4	14	15	1

Come vedi dall'esempio, i numeri all'estremità delle diagonali vengono invertiti, il primo diventa l'ultimo il quarto diventa quartultimo, il 6 prende il posto dell'11, e il 7 quello del 10, come vedi è molto facile, ottenerlo.

Per i quadrati magici di ordine pari, la somma di ogni quadrante è uguale alla somma delle righe colonne e diagonali.

Dividi cioè il quadrato in 4 quadrati, vedrai che la somma di ognuno è uguale alla somma delle righe, colonne e diagonali.

ORDINE 4
Seconda variante

13	14	15	16	[[[[[[[[[[[[[[[[]	13	3	2	16
9	10	11	12	[[[[[[[[[[[[[[[[]	8	10	11	5
5	6	7	8	[[[[[[[[[[[[[[[[]	12	6	7	9
1	2	3	4	[[[[[[[[[[[[[[[[]	1	15	14	4

I numeri in questa variante, partono dal basso a sinistra e come vedi dall'esempio, vengono invertiti i numeri centrali di ogni lato, il 2 ed il 3 vengono invertiti e spostati sul lato opposto del quadrato, la stessa cosa viene fatta con 9 ed il 5, con il 12 e l'8, infine con il 14 ed il 15 come vedi anche questo è molto facile, ottenerlo.

ORDINE 4 DIABOLICO

I quadrati magici che hanno proprietà particolari, sono chiamati, DIABOLICI.

1	14	4	15	[[[[[[[[[[[[[[[[]	15	1	14	4
12	7	9	6	[[[[[[[[[[[[[[[[]	6	12	7	9
13	2	16	3	[[[[[[[[[[[[[[[[]	3	13	2	16
8	11	5	10	[[[[[[[[[[[[[[[[]	10	8	11	5

Come vedi dall'esempio, i numeri dell'ultima colonna del primo quadrato sono stati invertiti con i numeri della prima, eppure rimane ancora un quadrato magico Inoltre se lo dividi a metà, orrizontalmente o verticalmente, rimane sempre magico.

ORDINE 5

*	*	1		*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	*	*	1	8	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	17	24	1	8	15
*	*	*	*	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	*	5	7	*	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	23	5	7	14	16
4	*	*	*	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	4	6	*	*	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	4	6	13	20	22
*	*	*	*	3	[[[[[[[[[[[[[[[[]	10	*	*	*	3	[[[[[[[[[[[[[[[[]	10	12	19	21	3
*	*	*	2	*	[[[[[[[[[[[[[[[[]	*	*	*	2	9	[[[[[[[[[[[[[[[[]	11	18	25	2	9

Ci sono vari metodi per realizzare un quadrato magico di ordine 5, o comunque di ordine dispari.
Il più facile da ricordare penso sia questo:
Si mette l'1 nella prima riga e colonna centrale, nota l'esempio qui sopra a sinistra, poi in teoria si prosegue verso l'alto e a destra, ma poichè siamo già alla prima casella ci si sposta nella parte più bassa e a destra di una casella e piazziamo il 2, poi ci si sposta ancora in alto a destra, ecco il 3, adesso non c'è più posto a destra, allora ci spostiamo all'estrema sinistra e ci alziamo di una casella, vedi il 4, poi ripetiamo come prima, in alto e a destra ed ecco il 5, nota il quadrato magico al centro, a questo punto, in alto a destra abbiamo già l'1, quando una casella è già occupata, invece di proseguire ci abassiamo di una casella,ed ecco il 6, ora ricominciamo, il alto a destra per due volte per il 7 e l'8, adesso siamo in cima e come con l'1 torniamo in basso, spostandoci sempre a destra di una casella, abbiamo il 9, siamo arrivati in basso e a destra, perciò ci alziamo di una casella, spostandoci all'estrema sinistra, mettiamo il 10, l'11 lo si piazza sotto il 10 perchè in alto a destra c'è gia il 6, come vedi, adesso possiamo mettere il 12, il 13, il 14 , ed il 15 senza problemi, per il 16 abbiamo il probema che non c'è posto in basso ne a destra, perciò il 16 va messo sotto il 15, poi si ricomincia in alto di una casella e spostato a sinistra ecco il 17, spostiamoci ancora in basso a destra e ricomiciamo a salire, 18, 19, 20, torniamo sotto di una casella con il 21, perchè quella sopra è già occupata, alziamoci ancora e mettiamo il 22, spostiamoci ancora all'estrema sinistra e in alto di una casella, ed ecco il 23, seguito dal 24,infine il 25 in basso e spostato a destra di una casella.

In breve ci si sposta in alto a destra di 45 gradi se arriviamo nella parte superiore ci spostiamo nell'estremità inferiore e a destra di una casella, se arriviamo all'estrema destra, ci spostiamo alla sinistra ed in alto sempre di una casella durante lo spostamento in alto, se una casella è occupata ci abbassiamo di di una casella, rimanendo però sempre nella stessa colonna.

In questo modo si possono realizzare tutti i quadrati magici di ordine dispari.
Qui sotto ne potete vedere uno di ordine 9, ma potrete costruirne uno di ordine 99 se volete, basta seguire i suggerimenti che vi ho illustrato, suggerimenti che ho trovato su un sito inglese, di cui purtroppo ho perso l'indirizzo.
Delle regole per costruire quadrati magici di ordine pari, superiore a 4 non ne conosco, se qualcuno sa come trovarle, sarei molto lieto di pubblicarle.

47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

La somma di ogni riga, colonna e diagonale è 369

Tutto quello che avete letto finòra lo potete trovare in modo più dettagliato su internet e sui volumi:-
Le gioie della matematica di Theoni Papas. -Muzzio Biblioteca.

Scienza volume XVI. fratelli Fabbri Editori.

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6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
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