Polvere di Cantor

Il procedimento che vi presento è opera del matematico tedesco Cantor.

Prendiamo una linea di un metro e ne cancelliamo il terzo centrale, (vedi l'immagine sopra, ho colorato di rosso la parte centrale, quella che cancelliamo.)e conserviamo i due terzi laterali (nota sempre la prima linea in alto, sono colorati di verde).

Poi ripetiamo ancora lo stesso procedimento con i due terzi della linea rimasti   (nota la seconda linea del disegno)  
praticamente ad ognuno dei due terzi verdi laterali rimasti, ho tolto il terzo centrale colorandolo di rosso(Ora sono rimasti solo 4 pezzetti piccoli verdi e cioè dei 2/3 di prima sono rimasti solo 4/9 della linea.

Nella terza linea ho ripetuto lo stesso procedimento, ai quattro pezzetti verdi ho tolto la terza parte centrale, sono diventati perciò 8 piccoli pezzettini(corrispondono a 8/27 della linea originale)

Nella quarta linea ho tolto ancora la terza parte centrale degli 8 pezzettini, riducendo cosi la linea originale a 16 piccolissimi briciole di colore verde, abbiamo ormai solo 16/81 della riga originale.

Se continuassimo a ripetere questo giochetto ancora una volta otteremmo 32 piccoli pezzettini verdi che corrisponderebbero ad una lunghezza pari a 32/243 della linea originale vale dire un metro diviso 243 e moltiplicato per 32 ossia solo 0,13168 m.

Teoricamente questo procedimento può essere ripetuto all'infinito, ed ogni volta avremo sempre più pezzettini verdi, magari saranno sottili come polvere, ma della linea iniziale rimarrà sempre qualcosa, anche se a prima vista uno penserebbe che togliendo sempre un terzo di qualcosa alla fine non rimanga più niente, invece ad ogni ripetizione del procedimento i pezzetti verdi raddoppiano, anche se naturalmente la lunghezza di ogn'uno di essi si riduce di un terzo, se verifichi quello che hai visto prima, vedrai che siamo partiti da una lina verde ridotta di un terzo, cioè 2/3 poi è diventata 4/9, poi 8/27, infine 16/81.

In pratica da una linea unitaria togliendo un terzo centrale, otteniamo due pezzi di linea, al secondo passaggio i pezzetti di linea diventano quattro, al terzo passaggio diventano otto, poi 16, poi 32 etc. raddoppiano ogni volta, ma contemporeanemente la lunghezza di ogni pezzo, si riduce ogni volta di 1/3   perciò partendo da un metro diviso in 3/3 come abbiamo fatto noi, avremo al primo passaggio, 2 pezzi di 1/3 di metro poi 4 pezzi di 1/9, poi 8 pezzi di 1/27, poi 16 da 1/81 etc.

Come vedi la reiterazione del procedimento, porta ad un numero infinito di pezzi, mentre la loro estensione tende allo zero, ma senza raggiungrlo mai.

Questa pagina andava messa tra i frattali, poichè come loro, con ogni reiterazione della formula si ha un frammnento simile all'originale, ma siccome graficamente è poco attraente ho preferito metterla tra le curiosità matematiche.

Per chi vuole approfondire, ecco alcuni siti da visitare.

www.mathcurve.com/fractals/fractali.shtml.
www.dei.unipd.it/~tigre/fractals/ fractals.
www.batmath.it/matematica/a_cantor/pg1.htm.
http://xoomer.virgilio.it/maurocer/Art47.htm.