sierpinskyline2

pag. 2

:-IL triangolo di Sierpinsky con le funzioni di seno e coseno

Le funzioni matematiche seno e coseno ci permettono di determinare molto facilmente la posizione di un punto su di una circonferenza e dato che il computer è un mostro di velocita nel manipolare queste funzioni, noi le usiamo per dividere una circonferenza in un determinato numero di archi uguali, poi li uniamo con una linea ottenendo così un poligono inscritto in un cerchio. Qui sotto come puoi vedere prima ho diviso la circonferenza in tre archi, poi ho unito i tre punti ed ho ottenuto un triangolo, nella seconda immagine ho diviso la circonferenza in 4 archi ed ho ottenuto un quadrato, poi con 5 un pentagono ed infine un esagono.

Ora che sappiamo come ottenere un triangolo equilatero dobbiamo trovare il modo di trasformarlo nel triangolo di Sierpinsky.
nell'immagine qui sotto a sinistra puoi vedere il primo passaggio, se guardi bene vedi che l'immagine è formata da 3 triangoli, 2 formano la base ed 1 è appoggiato sui 2 vertici,

per fare questo, ho usato ancora le funzioni seno e coseno, con un primo ciclo (for - next) traccio un triangolo, poi con un secondo ciclo piazzo gli altri due triangoli, uno al lato sinistro e uno che parte dal vertice del primo e si unisce al vertice del secondo, in questo modo con 3 triangoli ne ho formato uno con un perimetro doppio, ma con superfice quadrupla, ora con un terzo ciclo (for- next) ripeto quello che ho fatto con il secondo, vale a dire, prendo questo nuovo triangolo più grande e ne aggiungo altri 2 uguali, uno a lato e uno appoggiato sui due vertici, naturalmente dato che il nuovo triangolo ha un lato lungo il doppio moltiplico seno e coseno per un raggio lungo 2 volte il precedente,
A questo punto il gioco è fatto, ad ogni nuovo ciclo (for- next), il triangolo diventa sempre più grande, per realizzare la terza immagine ho usato 7 cicli (for - next)perciò quando si traccia il triangolo di partenza, bisogna partire con un lato piccolissimo, come puoi vedere dalla terza immagine.

Nella pagina seguente ti mostro come realizzare un triangolo rettangolo di Sierpinsky, utilizzando un metodo particolare, un metodo che simula il lancio di un dado.

Vai alla pagina 3 IL triangolo di Sierpinsky
SIMULANDO IL LANCIO DI UN DADO

Listato in Java per chi vuole divertirsi realizzando un applet

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// TRIANGOLO DI SIERPINSKY CON LE LE FUNZIONI   //
// SENO E COSENO                                //
//Applet di Sergio Savoldelli -www.savoldelli.net//
//////////////////////////////////////////////////
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Color;
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.GraphicsEnvironment;

public class sierpinsky extends java.applet.Applet {
  
 
public double k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,k9;
  public int   xini,yini,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,y1,
  y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,lato, cont;
 public double pi2= 3.14159265*2;
    public void init() {
      
      setLayout(new BorderLayout());
        setSize(350, 600); 
       
     
     
    }
    public void paint(Graphics g) {
       g.setColor(new Color(0,0,0)); 
        g.fillRect(2,2, getSize().width-2, getSize().height-2);
       
     
   
  
                  
                  xini=305;yini=269;
                  lato = 10;
                  
                  for(k8=-3.141592; k8< 3.141592;
k8=k8+(pi2/3)){
                      lato=320;
                        x9 =(int) (Math.cos(k8)*lato);
                        y9 =(int) (Math.sin(k8)*lato);
                          xini=xini+x9;yini=yini+y9;
                         
                   for(k7=-3.141592; k7< 3.141592;
k7=k7+(pi2/3)){
                      lato=192;
                        x8 =(int) (Math.cos(k7)*lato);
                        y8 =(int) (Math.sin(k7)*lato);
                          xini=xini+x8;yini=yini+y8;
                          */
                  for(k6=-3.141592; k6< 3.141592;
k6=k6+(pi2/3)){
                      lato=138;
                        x7 =(int) (Math.cos(k6)*lato);
                        y7 =(int) (Math.sin(k6)*lato);
                          xini=xini+x7;yini=yini+y7;
                  for(k5=-3.141592; k5< 3.141592;
k5=k5+(pi2/3)){
                      lato=70;
                        x6 =(int) (Math.cos(k5)*lato);
                        y6 =(int) (Math.sin(k5)*lato);
                          xini=xini+x6;yini=yini+y6;
                  for(k4=-3.141592; k4< 3.141592;
k4=k4+(pi2/3)){
                     lato=35;
                        x5 =(int) (Math.cos(k4)*lato);
                        y5 =(int) (Math.sin(k4)*lato);
                          xini=xini+x5;yini=yini+y5;
                          
                  for(k3=-3.141592; k3< 3.141592;
k3=k3+(pi2/3)){
                      lato=18;
                        x4 =(int) (Math.cos(k3)*lato);
                        y4 =(int) (Math.sin(k3)*lato);
                          xini=xini+x4;yini=yini+y4;
                    for(k2=-3.141592; k2< 3.141592;
k2=k2+(pi2/3)){
                        lato=9;
                        x3 =(int) (Math.cos(k2)*lato);
                        y3 =(int) (Math.sin(k2)*lato);
                          xini=xini+x3;yini=yini+y3;
                          
 ///////////////////////////////////////////////////////
//qui sotto la circonferenza viene divisa in 3 archi//
// per formare il primo triangolo                    //
//////////////////////////////////////////////////////        
                          for(k1=-3.141592; k1< 3.141592;
k1=k1+(pi2/3)){
                              lato= 9;
                              cont= cont+20;
                              x1 =(int) (Math.cos(k1)*lato);
                              y1 =(int) (Math.sin(k1)*lato);
                             x2= (int)xini+x1;
                             y2=(int)yini+y1;
                               g.setColor(new
Color(250,50,190,255));    
                              g.drawLine(xini, yini,x2,y2);
                            
                               xini=x2;yini=y2;
                                g.setColor(new
Color(250,250,250,255)); 
                               g.drawOval(286, 252,22,22);
                               
                            }   }}}}}//}//}
///////////////////////////////////////////////////////
//qui comincia il triangolo fatto con gli esagoni ///
///////////////////////////////////////////////////////
                         xini=320;yini=540;
                       for(k6=-3.141592; k6< 3.141592;
k6=k6+(pi2/3)){
                      lato=149;
                        x7 =(int) (Math.cos(k6)*lato);
                        y7 =(int) (Math.sin(k6)*lato);
                          xini=xini+x7;yini=yini+y7;
                  for(k5=-3.141592; k5< 3.141592;
k5=k5+(pi2/3)){
                      lato=76;
                        x6 =(int) (Math.cos(k5)*lato);
                        y6 =(int) (Math.sin(k5)*lato);
                          xini=xini+x6;yini=yini+y6;
                  for(k4=-3.141592; k4< 3.141592;
k4=k4+(pi2/3)){
                     lato=38;
                        x5 =(int) (Math.cos(k4)*lato);
                        y5 =(int) (Math.sin(k4)*lato);
                          xini=xini+x5;yini=yini+y5;
                          
                  for(k3=-3.141592; k3< 3.141592;
k3=k3+(pi2/3)){
                      lato=19;
                        x4 =(int) (Math.cos(k3)*lato);
                        y4 =(int) (Math.sin(k3)*lato);
                          xini=xini+x4;yini=yini+y4;
                    for(k2=-3.141592; k2< 3.141592;
k2=k2+(pi2/3)){
                        lato=10;
                        x3 =(int) (Math.cos(k2)*lato);
                        y3 =(int) (Math.sin(k2)*lato);
                          xini=xini+x3;yini=yini+y3;
                          
///////////////////////////////////////////////////////
// per formare l'esagono                             //
///////////////////////////////////////////////////////
                          
                          for(k1=-3.141592; k1< 3.141592;
k1=k1+(pi2/6)){
                              lato= 5;
                              cont= (cont+1)%205;
                              x1 =(int) (Math.cos(k1)*lato);
                              y1 =(int) (Math.sin(k1)*lato);
                             x2= (int)xini+x1;
                             y2=(int)yini+y1;
                               g.setColor(new
Color(255-cont,cont+50,255-cont,255));    
                              g.drawLine(xini, yini,x2,y2);
                            
                               xini=x2;yini=y2;
                               g.setColor(new
Color(250,250,250,255)); 
                               g.drawOval(302, 522,23,24);
                               
           }   }}}}}//}//}   
           g.setColor(new Color(250,250,250,255));  
          g.drawString("Nota i 3 triangoli e i tre esagoni di 
          partenza nei cerchi bianchi  " , 4, 570);      
                   }   }

Questa è la pagina N.2 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKY CON LE FUNZIONI DI SENO E COSENO CLASSICO.

Vai alla pagina 3 IL triangolo di Sierpinsky
SIMULANDO IL LANCIO DI UN DADO

Pagina 1, -Sierpinsky, con il metodo classico.

Pagina 2,-Sierpinsky, con le funzioni di seno e coseno.

pagina 3, -Sierpinsky con il lancio di un dado.

pagina 4, -Applet con Sierpinsky e le funzioni di seno e coseno.

pagina 5, -Applet con Sierpinsky ottenuto simulando il lancio di un dado.

SEZIONE TASSELLARE IL PIANO

Pagina 1 -Tassellare il piano con i poligoni regolari

Pagina 2 -Tassellare il piano in modo aperiodico

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